Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 30

Однако только около 1904 года, когда стали проявляться парадоксы, Гильберт убедился, что основные усилия необходимо направить на аксиоматический анализ как часть более обширной задачи — установления непротиворечивости арифметики (поскольку и геометрия, и анализ были сведены к ней). Как обычно, Гильберт выбрал себе соратника — на этот раз Цермело — и поручил ему детальную разработку аксиоматизации теории множеств. Именно так начали вырисовываться два основных момента программы Гильберта: сперва аксиоматизация, затем непротиворечивость.

На первом этапе было необходимо формализовать теорию множеств, а также логику и арифметику. Наивные определения не позволяли вывести строгие рассуждения, лишенные парадоксов. Следовало полностью формализовать известную математику, переведя все ее содержимое в формальную систему, выраженную с помощью нового символического языка: 0 (число нуль), s (функция последующего члена), ¬ (не), v (или), ^ (и), →(вывод), Ǝ (квантор существования), перевернутое А(квантор всеобщности), = (равенство), х (переменная) и так далее. Как раз в 1928 году, спустя 50 лет после первого шага Фреге, Гильберт и Аккерман опубликовали «Основы теоретической логики» — учебник по дисциплине, сегодня называемой логикой первого порядка. Их формализация достигла канонического уровня, и сегодня она известна как система Гильберта — Аккермана. Они установили формальный синтаксис, а также предложили аксиомы и правила этой логики, что позволяет выводить новые формулы. Логика первого порядка превратилась в настоящее исчисление.

Вначале был знак.

Давид Гильберт, «Новые основания математики» (1922)

В учебнике Гильберта и Аккермана были сформулированы некоторые металогические вопросы о свойствах исчисления, ими разработанного. Они перекликались, в частности, с доказательством (в 1926 году предложенным Бернайсом) того, что элементарная логика, или логика пропозиций, является верной (любая доказуемая формула верна) и полной (любая логическая истина, в свою очередь, доказуема), и к этому же результату в 1922 году независимо пришел Эмиль Пост (1897- 1954). Авторы задавались вопросом — является ли таковой логика первого порядка? — хотя признавали, что ответ не найден. Ровно через год, в 1929 году, молодой австрийский логик Курт Гёдель доказал полноту логики первого порядка в своей докторской диссертации, написанной под руководством Ханса Хана (1879-1934), хотя опубликовал ее он лишь в 1930 году Эта логика была верной (все доказуемые формулы истинны) и полной (все логические истины, все тавтологии доказуемы). При исчислении предикатов первого порядка синтаксическое понятие дедукции и семантическое понятие истины совпадают, имеют одно и то же расширение.

Программа Гильберта неожиданно обрела успех: любая логически справедливая формула, то есть истинная в любой возможной интерпретации, выводима с помощью описанных исчислений. Но что произойдет, если к этому чистому исчислению предикатов добавить аксиомы и правила, которые относились бы к арифметике или к теории множеств? Останется ли оно верным и непротиворечивым? И полным?

На втором этапе в объект математического изучения следовало превратить само понятие доказательства, чтобы таким образом доказать непротиворечивость арифметики и искоренить все сомнения. В математике нет места полуправде. Для Гильберта математик занимается понятием математического доказательства, точно так же как физик проверяет работу своих приборов или философ критически осмысливает свои же аргументы. Разработка «теории доказательства» позволит рассматривать доказательства в качестве результата чистых сочетаний символов, согласно предписанным формальным правилам. В этих условиях было достаточно доказать, что никакое формальное выведение, никакое сочетание символов не может привести к формуле 0≠0 (что является противоречием). Так была бы установлена непротиворечивость арифметики. Достаточно доказать, что есть одна недоказуемая формула, поскольку если бы все формулы были доказуемы, мы могли бы вывести противоречие (доказав пропозицию и обратную ей), и система оказалась бы противоречивой. И наоборот, если бы система была противоречивой, поскольку из противоречия следует что угодно (ex contradictione sequitur quodlibet, как уверяли схоластики), мы могли бы доказать любую формулу (формула «если 0≠0, то Р» всегда истинна, справедлива, поскольку таковой не является предпосылка).

В 1920 годы Гильберт ввел идею о том, что его «теория доказательства» подходит к вопросу непротиворечивости на двух уровнях рассмотрения. С одной стороны, это математический уровень, как представлено в рамках формальной системы. С другой стороны, это метаматематический, дискурсивный уровень, на котором говорится об аксиоматизированной математике. На данном уровне следовало доказать непротиворечивость посредством ряда техник, которые изучали бы формальную систему извне, отключив ее от любого числового значения или значения, связанного с бесконечностью, просто в качестве конечных цепочек первичных знаков, на основе которых можно образовать формулы и доказательства в соответствии с некоторыми предопределенными правилами. Пропозиции, которые относятся к этому формальному скелету, к этой арифметике, лишенной значения, — это метаматематические пропозиции, которые формулируются не на языке объекта, а на метаязыке. Это как если бы на уроке английского использовался испанский язык, чтобы показать оттенки какого-нибудь англосаксонского слова. Вопрос о непротиворечивости в математике или вопрос, является ли формула 0≠0 доказуемой, — по сути, то же самое, что спрашивать, является ли определенная шахматная позиция правомерной, то есть можно ли достичь ее из исходного положения партии и по правилам передвижения фигур. Чтобы на него ответить, мы не играем в шахматы, а размышляем о собственно шахматах.

Сомневайся в данных, пока данные не оставят места сомнению.

Анри Пуанкаре

Но Гильберт настаивал на том, что математическое доказательство непротиворечивости арифметики должно удовлетворить как классических математиков, так и интуиционистов, то есть оно должно проводиться финитными, конструктивными методами, которые не требуют вмешательства бесконечности. В конце жизни Пуанкаре подчеркивал, что если для доказательства непротиворечивости арифметики — даже в математическом плане — воспользоваться принципом индукции, то есть пятой аксиомой Пеано, получится порочный круг: попытка доказать связность арифметики с помощью арифметического принципа. Нужно было доказать это посредством самоочевидных рассуждений, что сами математические методы, даже когда они предполагают присутствие актуальной бесконечности, справедливы, то есть не позволяют вывести противоречие. Более того, Гильберт хотел доказать не только непротиворечивость математики, но также ее полноту. Это был другой нерешенный вопрос из его лекции 1900 года: возможность решения любого математического вопроса.

Гильберту и его соратникам удалось доказать непротиворечивость некоторых простых формальных систем. Так, в 1922 году Гильберт сконцентрировался на элементарной части арифметики и, изучая вид доказуемых формул, сделал вывод, что формула 0≠0 — не из их числа. Это доказательство позже было развито Аккерманом в его докторской диссертации (датированной 1925 годом и написанной под руководством Гильберта), а также в 1927 году элегантно упрощено фон Нейманом. Но это были фрагментарные достижения: формальные арифметические системы, из которых следовала непротиворечивость, не включали в себя принцип индукции. В 1929 году польскому математику Мойжешу Пресбургеру (1904-1943) удалось доказать непротиворечивость арифметики, включающей в себя принцип индукции и сложение, но не умножение. Эти результаты обрели форму двухтомника, написанного Бернайсом от лица Гильберта и озаглавленного «Основания математики» (1934-1939). Однако непротиворечивость систем, описывающих достаточно большую область арифметики с натуральными числами, все еще оставалась неохваченной.