Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 1

Annotation

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство. Среди коллег этого незаурядного ученого выделяла невероятная харизма, а знаменитые 23 кардинальные проблемы, сформулированные им в 1900 году, предопределили развитие самой дисциплины на десятилетия вперед. Он превратил город Гёттинген в мировую столицу математики, но стал свидетелем того, как его разоряют нацистские зачистки. Знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать», выгравированная на его могиле, передает жажду знаний последнего великого математика-универсала.

Carlos М. Madrid Casado

Введение

ГЛАВА 1

ГЛАВА 2

ГЛАВА 3

ГЛАВА 4

ГЛАВА 5

Список рекомендуемой литературы

Указатель

Carlos М. Madrid Casado

Наука. Величайшие теории: выпуск 34: Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики.

Еженедельное издание

ISSN 2409-0069

Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2015. — 176 с.

ISSN 2409-0069

© Carlos М. Madrid Casado, 2013 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2013 © ООО «Де Агостини», 2014-2015

Введение

Зайдите в любую библиотеку и окиньте взглядом ее стеллажи. Вы сразу обнаружите книги Евклида, Ньютона или Эйнштейна, а рядом — труды Платона, Аристотеля или Канта, не говоря о произведениях Сервантеса и Шекспира. Настоящее рядом с прекрасным. Но почему порядок именно такой? Возможно, все дело в небрежности библиотекаря или же, если не брать в расчет случайность, здесь есть какая-то глубинная причина? Вероятно, следует начать с вопроса: почему работы Евклида (а значит и Архимеда, Лейбница, Эйлера или Гаусса) все еще присутствуют в нашей жизни, почему они все еще актуальны? Ведь не зря труд Евклида «Начала геометрии» веками оставался учебником, который знакомил с научными истинами целые поколения студентов. Какой была роль геометрии и математики в целом во множестве знаний? Для одних математика стала дверью и ключом к науке, для других — еще и алфавитом философии.

Однако на вопрос об основании и природе математики дали слишком много ответов. Почти столько же, сколько в мире было математиков, начиная с работавших под сенью пирамид землемеров, заканчивая нашими современниками и не забывая о греческих геометрах. С глубокой древности говоря «математика», подразумевают «доказательство». Доказательство, как клей, скрепляет математику. Но что такое доказательство?

Ответу на этот вопрос наш герой, Давид Гильберт (1862-1943), посвятил значительную часть своей научной деятельности. В чем состоит доказательство математической теоремы? И все ли математические истины доказуемы? Эти и другие загадки, возникшие на стыке науки и философии, сосредоточились возле оснований математики. Глубокая озабоченность данным вопросом определяла привязанность Гильберта к этой науке.

Давид Гильберт — пожалуй, один из значительнейших математиков XX века. Его работы в области алгебры, геометрии, анализа, физики, логики и оснований математики дают ему право называться математиком века. И это не пустые слова. Его вклад (как в качественном, так и в количественном отношении) обладает неизмеримой, беспрецедентной значимостью. Гильберт — ученый уровня Гаусса и Пуанкаре. Но в чем заключается легендарность этой личности? К постоянным нововведениям и выдающимся результатам, к которым привыкли его современники, следует добавить личную харизму, очаровывавшую тех, кто с ним встречался. Путь, проделанный математикой в XX веке, невозможно объяснить без учета его вклада. Его влияние сказалось на целом ряде поколений, работавших над теми знаменитыми проблемами, которые он обозначил в программе столетия. Он был математиком из математиков.

В то время как личная жизнь ученого протекала в похвальном спокойствии, жизнь интеллектуальная бурлила приключениями. Такое положение дел, возможно, не вписывается в представления о герое, зато подходит образу творческой личности, и эта история только и ждет, чтобы ее рассказали. Гильберту посчастливилось жить в эпоху, когда и математика, и физика чрезвычайно прогрессировали, хотя параллельно испытывали глубокие потрясения, приведшие к новому математическому методу и к свершению революции в физике. Описываемый период пришелся на настоящий творческий расцвет, и Гильберт был среди ведущих действующих лиц.

Обзор жизни и научной деятельности Давида Гильберта сосредоточится на нескольких этапах, обусловленных его математическими интересами (алгеброй, геометрией, анализом, теоретической физикой и основаниями математики): разрабатываемые им годами, они и определили его легендарную репутацию. Но в этой книге мы не только расскажем о понятиях, которые он ввел или в становление которых внес вклад; мы также познакомимся с некоторыми важнейшими деятелями науки начала XX века. Минковский, Пуанкаре, Эйнштейн, фон Нейман и Гедель появятся на этих страницах в числе многих других. Читатель получит удовольствие от знакомства и постоянных встреч с людьми, имена которых известны каждому студенту благодаря понятиям и теоремам, названным в их честь.

Детство и молодость Гильберт провел в родном Кёнигсберге, а в зрелом возрасте переехал в Геттинген, где жил до конца своих дней. Будучи профессором университета, он способствовал созданию математического института, который привлек лучшие умы того времени. Вокруг него выстраивался авангард немецкой науки, да и европейской тоже, пока нацисты не превратили Геттинген в пустошь.

Карьера молодого Гильберта пошла в гору, когда, к удивлению коллег, он решил насущную алгебраическую проблему, казавшуюся непреодолимой. Однако через некоторое время он оставил алгебру и переключился на основания геометрии, взяв на вооружение аксиоматический метод. В его работе этот метод имел решающее значение. Гильберт больше, чем кто-либо, научил математиков мыслить аксиоматически и определил новый метод как самый надежный в математической вселенной.

На лекции, прочитанной им на Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года (в тот день стояла удушающая жара), он продемонстрировал научному сообществу свою проницательность, и его стали воспринимать как человека, за которым — будущее математики. Логика необходима этой науке, но именно проблемы обеспечивают ее жизнедеятельность. Круг из 23 проблем, сформулированных Гильбертом, определил равное количество вызовов, которые мотивировали ведущих математиков последующие 100 лет. В итоге математика стала развиваться во многих направлениях. Некоторые из этих проблем были решены однозначно (как, например, в случае континуум-гипотезы), в то время как другие (скажем, гипотеза Римана) все еще ждут своей очереди.

Гильберт — легендарная личность и для физики тоже. Уравнения общей теории относительности — результат его творческой гениальности в не меньшей степени, чем гениальности Эйнштейна. Квантовая механика, в свою очередь, тесно связана с математической структурой, гильбертовым пространством. Кроме того, новый век стал свидетелем того, как немецкий математик очерчивает (не в полной мере осознавая это) новую область математического анализа — функциональный анализ.

Однако самая обширная тема — это основания математики. Парадоксы логики и теории множеств, а также плеяда открытых вопросов о надежности классической математики спровоцировали глубокий раскол в научном сообществе и все нараставшие споры об основаниях этой дисциплины. К 1920 году, находясь на пике карьеры, наш герой ринулся создавать амбициозную программу основания, причем ему пришлось помериться силами с некоторыми виднейшими европейскими математиками. Как архитектор, исследующий фундамент старого дворца, который вот-вот рухнет, Гильберт пересмотрел основания математики, пытаясь устранить ее трещины и обеспечить ей устойчивость на долгие века. Он хотел стереть уродливое пятно парадоксов с идеального здания математики. На это его воодушевляла слепая вера в то, что можно доказать: математика, снабженная подходящими аксиомами, не содержит никаких противоречий, она устойчива. Это одна из главных проблем математики, которую Гильберт озвучил на лекции 1900 года.