Путешествие по Карликании и Аль-Джебре - Левшин Владимир Артурович - Страница 41

7<8.

— А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, — пояснила Эф.

Тут Восьмёрка и Семёрка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Чёрточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами:

8>7.

— Понятно, — сказал Олег, — этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, — большее.

— Детские игрушки, — проворчал Сева.

Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а+b, справа с. Между ними загорелся знак равенства:

а+b=c.

Но в Севу точно бес вселился! Всё ему не нравилось.

— Почему это, — придрался он, — Весовщик думает, что а+b равно c?

— А он вовсе и не думает — он требует этого, — ответила Эф. — Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.

— А может быть, он всё-таки ошибается? — заупрямился Сева. — Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.

Он встал и подошёл к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b — Пять, а на другой чашке вместо с — Девятка:

4+5=9.

Но Сева не унимался:

— Нет, так не пойдёт, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!

Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажёгся знак неравенства. И мы, увидели вот что:

6+7 <20.

— Что я говорил! — закричал Сева. — Выходит, а плюс b не равно c.

И тут молчаливый Весовщик не выдержал.

— О неразумный отрок! — заговорил он тонким скрипучим голосом. — Если ты хочешь стать мудрецом, не болтай языком, не подумав. Под буквами действительно можно подразумевать произвольные числа. Но только до тех пор, пока они не связаны знаком равенства. В равенстве а+b=c можно произвольно заменить числами не три, а только две буквы. Величина третьей выяснится сама собой. Замени две из этих букв числами.

Сева подумал, пошевелил губами…

— Пусть а будет равно пяти, а c — двенадцати.

На весах появилось выражение:

5+6=12.

— Скажи теперь, — улыбнулся Весовщик, — можно ли вместо b подставить любое число?

Но Сева не успел и рот открыть, как на весах вместо буквы b засветилась Семёрка:

5+7=12.

Сева почесал за ухом.

— Да! С этими равенствами не разгуляешься. Зато уж в неравенстве подставляй что душе угодно — так неравенством и останется.

Весовщик укоризненно покачал головой:

— Опять говоришь не подумав. Неравенство неравенству рознь.

Он взмахнул палочкой. На левой чашке весов появились c+d, на правой e, а между ними — знак неравенства:

с + d < е.

Правая чашка весов опустилась.

— Назови вместо этих букв любые числа, — предложил Весовщик.

Сева назвал. И на левой чашке весов мы увидели 4+8, а на правой 9. Левая чашка весов опустилась, и знак неравенства повернулся остриём вправо:

4+8>9.

— Ага! Неравенство сохранилось, — обрадовался Сева.

— Да, — сказал Весовщик, — но теперь левая часть стала больше правой, а не меньше, как мы условились.

— Почтенный Весовщик, — вмешался Олег, — вы хотите сказать, что, подставив в левую часть этого неравенства 4+8, справа можно подставить любое число, но при одном условии: оно должно быть больше двенадцати. Тогда левая часть всегда будет меньше правой.

— Вот именно, вот именно! — умилился Весовщик и так закивал головой, что вот-вот борода отвалится! Потом он перестал кивать и взглянул m Севу.

Тот стоял надутый, взъерошенный, как воробей после драки.

— Вижу, — сказал Весовщик, — тебе во что бы то ни стало хочется подставлять любые числа под все буквы. Так и быть, попробуй ещё разок.

На весах засветилось равенство:

3a+2b=2a+3b−b+a.

— Нет уж, спасибо! — Сева даже руками замахал. — Теперь меня не проведёшь.

— Зря отказываешься. В этом примере можно подставлять вместо a и b любые числа, какие вздумается.

Весовщик подставил вместо а Четвёрку, вместо. b — Тройку:

34+2·3=2·4+3·3–3+4.

И сейчас же числа эти исчезли, уступив место числу 18 на каждой чашке весов:

18=18.

Сева растерянно поморгал глазами. Опять он попал впросак. Но почему?

— Да потому, — ответил Весовщик, — что это равенство особое. Оно называется тождеством. Какими числами ни заменяй буквы в тождестве, равенство всё равно сохранится.

— Но как отличить тождество от обычного равенства, не подставляя чисел вместо букв? — спросила я.

— Для этого надо обе части равенства сделать совершенно одинаковыми. Смотрите!

Мы увидели на весах прежнее тождество:

3a+2b=2a+3b−b+a.

Тут Весовщик протянул руки к правой чашке весов и как закричит:

— Подобные, приведитесь!

И сейчас же 2a в правой части соединились ещё с одним a; 3b, из которых вычли одно b, превратились в 2b, и на весах образовалось другое выражение:

3a+2b=2a+3b.

Покончив с тождеством, Весовщик взмахнул палочкой, и на ней очутился металлический обруч. С такими у нас занимаются художественной гимнастикой.

Я чуть не фыркнула: неужели Весовщик собирается танцевать с обручем? Вот будет весело! Но танцевать он не стал, а достал верёвочку и измерил ширину круга в самом его широком месте.

— Эта ширина называется диаметром круга, — пояснил он. Хотя кто же этого не знает?

Потом Весовщик стал укладывать этот верёвочный диаметр по обручу, чтобы измерить длину окружности. Сделал отметку, уложил верёвочку один раз, второй, третий, но до отметки все ещё не дошёл. Выходит, длина окружности больше, чем три её диаметра. Весовщик стал откладывать верёвочку в четвёртый раз, но её оказалось слишком много. На глаз получалось, что надо отложить только одну пятую верёвочки. Весовщик отрезал одну пятую, но и этот кусочек оказался длиннее, чем нужно. Значит, длина окружности меньше, чем три и одна пятая диаметра.

Тогда Весовщик разрезал этот кусочек верёвки пополам, и он стал равен одной десятой диаметра. Но теперь его не хватило до отметки. Значит, длина окружности меньше, чем три и одна пятая, но больше, чем три и одна десятая диаметра.

Долго Весовщик возился с этой задачей, а потом улыбнулся и сказал:

— О мои юные друзья, я пошутил. Я и раньше знал, что решить эту задачу точно невозможно. Мне только хотелось, чтобы вы убедились в этом сами. Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра, можно подсчитать только приближённо. Вычислите это число с точностью хоть до миллиона знаков, оно всё равно не будет совершенно точным.

— Значит, это — иррациональное число? — спросил Олег.

— Конечно! — подтвердила Эф. — Мы можем указать, где оно живёт на монорельсовой дороге, но выразить его точным числом нельзя. В Аль-Джебре его обозначают греческой буквой Пи — я. Смотрите, вот оно.

На левую чашку весов вспорхнула буковка, слегка напоминающая русское «п», а на правой появилось число 3,14.

— Число Пи приближённо равно трём целым и четырнадцати сотым, — объяснил Весовщик.

Он взмахнул палочкой. Чашка с буквой Пи чуть-чуть опустилась, а в кошачьем глазке появились две волнистые линии: ≈.

— Это знак приближённого равенства, — пояснила Эф. — На самом деле Пи немножко больше, чем 3,14. Поэтому левая чашка слегка перевешивает.