Волшебный двурог - Бобров Сергей Павлович - Страница 95

Вот как чертится эллипс.

Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F₁E и F₂E — с одной стороны, и большая ось эллипса AB — с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки…

— 375 —

нитку на кнопки, а потом поддеваешь ее кончиком карандаша, натягиваешь и чертишь. Карандаш тебе как раз вычертит эллипс. Чем ближе поставить при одной и той же нитке фокусы-кнопки, тем больше эллипс будет походить на круг.

Чем дальше их расставить, тем более продолговатым будет эллипс. Если поставить кнопки совсем рядом, а нитку взять подлинней, то эллипс трудно будет отличить от круга, то есть когда фокусы сходятся в одной точке, эллипс превращается в круг. А если ты так далеко расставишь кнопки, что нитка совсем натянется, эллипс превратится в отрезок прямой.

— Так, — отвечал Илюша. — Обязательно попробую. Эллипс ведь очень красивая фигура! Ну, а если взять не сумму расстояний до двух точек и не разность, а, например, произведение?

— Тогда получится овал или восьмерка. Эта фигура называется лемнискатой. Ее построил математик Яков Бернулли. Уравнение этой кривой будет не второго порядка, как все конические сечения, а четвертого.

— Ишь какая важная!

— Это еще невелика важность, — ответил, усмехнувшись, Радикс.

— А начертить параболу и гиперболу труднее, чем эллипс?

Вот как надо чертить гиперболу.

— Нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Гиперболу, можно начертить так. Возьмем линейку и закрепим ее в одном из фокусов одним концом так, чтобы она могла вращаться вокруг фокуса, как на шарнире. Гипербола определяется, как мы говорили, постоянной разностью между расстояниями от каждой ее точки до двух фокусов. Назовем эту разность 2а и расстояние между фокусами 2с, причем с всегда больше а. У эллипса, кстати сказать, будет как раз наоборот, если называть там 2а суммой соответствующих расстояний.

Так вот, берем линейку, которая должна быть длиннее расстояния 2с, и нитку, длина которой равна длине линейки минус 2а. Один конец нитки закрепляем кнопкой в свободном фокусе (то есть не в том, в котором мы закрепили линейку), а другой ее конец

— 376 —

Прошу любить да жаловать! Это сама Лемниската Яковлевна Бернулли. Основное ее свойство в том, что произведение [(F₁A) (AF₂)] есть величина постоянная, то есть площадь квадрата со стороной F₁O равна площади прямоугольника со сторонами F₁А и AF₂.

прикрепляем к свободному концу линейки. Теперь, если натягивать кончиком карандаша нитку по линейке и в то же время поворачивать линейку около фокуса, карандаш начертит гиперболу.

— Это я тоже вычерчу! — отвечал Илюша. — А параболу?

— А параболу чертят при помощи линейки и угольника. Ты ставишь линейку по директрисе параболы и прикладываешь к ней вплотную угольник малым катетом. Потом берешь нитку, равную по длине большому катету, и закрепляешь ее с одной стороны в фокусе параболы кнопкой, а с другой — в конце большого катета, у острого угла. Натягиваешь нить карандашом, а в то же время заставляешь малый катет угольника скользить по линейке.

— Ну хорошо, — сказал Илюша. — А как же

Можно увидеть Лемнискату, если удастся достать арагонитовую либо селитряную пластинку и рассматривать ее в поляризованном свете.

— 377 —

решается уравнение третьей степени, то есть кубическое? Мы чертили график этого уравнения и находили максимум и минимум ординаты. А как найти корни?

— В частных случаях иногда кубическое уравнение решается довольно просто. Вот задача индусского математика Бхаскара Ачариа, жившего в двенадцатом веке нашей эры:

х³ — 6х² + 12x; = 35.

Достаточно в левой части прибавить и вычесть восемь, чтобы получить точный куб:

(х³ — 6x² + 12x — 8) + 8 = 35,

х³ — 6х² + 12х — 8 = 27;

(x — 2)³ = 27;

х — 2 = 3; х = 5.

Индусский математик нашел только один корень. Другие два будут комплексные, и их легко найти, выделив один из множителей нашего четырехчлена, то есть:

Вот как чертят параболу.

— 378 —

x³ — 6x²+ 12x — 35 = 0;

х³ — 5х² — х² + 5х + 7х — 35 = 0;

х²(х — 5) — х (x — 5) + 7 (х — 5) = 0;

(х — 5) (х² — х + 7) = 0.

Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а «тарталья» как раз и значит «заика» — это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы «к». Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры[28]. Вот какая замечательная настойчивость!

— Как наш Ломоносов!

— Правильно! — отвечал Радикс. — Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, «что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать».

— А почему он вспоминает Платона?

— Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке[29]. Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола — немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

— 379 —

— Мне еще хочется узнать про максимумы, — попросил Илюша. — Это очень трудно — их определить?

— Да нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?