В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович - Страница 42

Надо только помнить, что теперь эти теоремы справедливы для «образов». Если на плоскости осуществлялась евклидова геометрия, то она будет осуществляться и для «образов» на цилиндре.

По существу, мы сейчас соприкоснулись с одной из самых замечательных и красивых сторон математики. Пока мы не интересуемся практическим приложением, нам совершенно все равно, о чем именно говорят наши теоремы. Лишь бы они удовлетворяли требованиям логики. Более того, мы даже не знаем, о чем мы, собственно, говорим. Только физику необходимо знать, что происходит «на самом деле». Каков его мир.

Для физики прямая — это луч света. Для математики это одно из основных неопределяемых понятий. Прямые на евклидовой плоскости и геодезические линии на поверхности цилиндра невозможно различить, если сравнивать их только с точки зрения аксиоматики.

Представим себе некую фантастическую картину. Два двумерных мира. Один плоский. Другой на поверхности цилиндра. В обоих живут разумные существа. Допустим, они каким-то образом наладили связь.

Двумерный «плоский» и двумерный «цилиндрический» математики с удовольствием бы констатировали, что у них одна геометрия.

Окажись система аксиом противоречивой на евклидовой плоскости, мы сразу бы знали: она противоречива и на цилиндре.

Один мог бы объяснять другому теоремы, которые он доказал, и второй принимал бы их без всяких изменений. Они могли бы работать вместе без малейших разногласий. Вот у «плоского» и «цилиндрического» физиков такого тесного контакта не было бы. Они с самого начала заявили бы, что в их мирах законы природы различны.

Впрочем, если бы в «цилиндрическом» мире луч света распространялся по геодезической линии, они тоже не сразу бы обнаружили отличия.

Читатели понимают, конечно, что сейчас мы находимся где-то очень близко от проблемы непротиворечивости неевклидовой геометрии. Если бы в обычном евклидовом пространстве удалось найти также поверхности, на которых осуществляется геометрия Лобачевского… Если бы эти поверхности можно было сделать такими, что на них отображалась бы вся плоскость Лобачевского… Тогда задача была бы решена.

Первое «Если…» удовлетворяется. Такие поверхности (псевдосферы) существуют. Это поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Но вот второе условие нас губит. Вся поверхность псевдосферы соответствует лишь кусочку плоскости Лобачевского. Забудем на время непротиворечивость и хоть и вскользь, но скажем о Римане. Этот болезненно застенчивый юноша в 1854 году открывает математикам новые перспективы. Сейчас нам придется снова вернуться к гауссовой кривизне, но теперь уж на совсем математическом языке. Рассмотрим два произвольных семейства кривых на поверхности. Семейства, повторим, могут быть совершено произвольны. Эти два семейства образуют координатную сетку. Пусть теперь мы хотим найти расстояние между двумя очень близкими, а в остальном совершенно произвольно выбранными точками x₁ и x₂.

Гаусс рассмотрел следующее выражение:

Его называют основной метрической формой. Для тех, кто не очень знаком с математикой, эта формула, естественно, довольно неприятно выглядит. Но мы и не будет особенно ею пользоваться. Сделаем лишь два замечания.

1. «Физический» смысл этого выражения очень прост. Это квадрат расстояния между точками x₁ и x₂.

2. g₁₁(x₁x₂), g₁₂(x₁x₂) и g₂₂(x₁x₂), естественно, меняются при переходе от одной точки поверхности к другой. Мы писали в скобках x₁ и x₂, чтобы показать: все выражения g₁₁, g₁₂ и g₂₂ зависят от места на поверхности.

Нам существен сейчас один результат Гаусса. Он показал, что кривизна поверхности полностью определяется числами g₁₁(x₁x₂), g₁₂(x₁x₂), g₂₂(x₁x₂). Но этого мало. Он доказал, что какую бы ни выбрать систему координат, кривизна не изменится. Это совсем не очевидно. Действительно, все числа g₁₁, g₁₂, g₂₂, вообще говоря, изменятся при выборе новой координатной сетки. Но гауссова кривизна так комбинируется из этих чисел, что останется неизменна. То есть гауссова кривизна совершенно не зависит от способа описания.

Она — внутреннее свойство поверхности. Итак, для плоских поверхностей вся геометрия определяется одним только соотношением — основной метрической формой. Эта форма зависела от двух переменных. И, зная коэффициенты, мы могли вычислить в любой точке гауссову кривизну поверхности.

Идею Римана можно передать буквально в двух словах. Давайте чисто формально рассматривать подобные выражения от трех, четырех и n-переменных. И скажем, что эти метрические формы определяют геометрию трех-, четырех-, n-мерного мира. Формально мы сможем вычислить гауссову кривизну для таких миров. Сможем сказать о том, какая именно геометрия будет в них осуществляться.

Если кривизна отлична от нуля, мы скажем, что такой мир искривлен. И заметим это, не выходя из одной точки. Нам достаточно узнать кривизну в этой точке.

Геометрия «мира» может быть любой. Какой именно, даже не очень важно сейчас. Теория Римана предусматривает все мыслимые случаи.

Вот и все, грубо говоря.

Просто обобщение гауссовой теории поверхностей на случай многих переменных. А в начале XX столетия оказалось, что для описания нашего реального мира нужно использовать геометрию Римана. Причем не для трех, а для четырех измерений. Четвертым оказалось время.

На этом расстанемся с Риманом.

Сейчас основная моя задача — воздерживаться по мере сил от восторженных восклицаний.

Действительно, вряд ли во всей математике отыщешь еще десяток идей, равных по своей красоте доказательству непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Все построено на том, что математику совершенно безразлично, что именно скрывается под его Основными Понятиями. Лишь бы удовлетворялись аксиомы.

До поры до времени геометрия не более чем логическая игра. «Прямая», «точка», «плоскость», «движение» — фигурки в этой игре; и единственное, что знает о них математик, — это его аксиомы — правила игры с этими фигурами.

На этом этапе геометрия, вообще говоря, столь же бесполезна для физика, как шахматы или домино. Лишь тогда, когда он — физик — экспериментально установит, что его реальные прямые, точки и т. д. очень точно описываются математическими абстракциями, лишь тогда, когда он увидит, что аксиомы математики действительно описывают поведение его вполне реальных прямых, точек, плоскостей… Лишь тогда геометрия превращается в одну из глав физики — науки, исследующей окружающий нас мир. До этого момента геометрия — логическая игра.

Но как раз такая неожиданная позиция дает возможность доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Задача выглядит так.

Есть две игры: геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

Попробуем доказать, что если в правилах одной из них скрыто внутреннее противоречие, то оно непременно есть и в правилах другой.

Правила игры — напомним еще раз — это список аксиом.

Как видите, мы несколько изменили постановку вопроса.