Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - Мадрид Карлос - Страница 2

Мы никогда не узнаем, что сказал бы великий кёнигсбергский философ, если бы смог охватить взглядом удивительное множество природных систем, строго детерминированных, но при этом обладающих хаотическим поведением со всеми вытекающими последствиями, то есть поведением случайным, или стохастическим (по-гречески stochastikos означает «умеющий угадывать»). Многие движения, кажущиеся беспорядочными, в действительности описываются строгими правилами, в которых нет места случайности. Таким образом, хаос и фракталы — это новый инструмент познания Вселенной.

«Спонтанное» появление папоротника Барнсли.

* * *

* * *

* * *

Сегодня хаос у всех на устах. О нем сняты такие фильмы, как «Хаос», «Эффект бабочки» и «Парк Юрского периода». Ему посвящены художественные произведения, к примеру «Баталист» испанского писателя Артуро Перес-Реверте, где удачно сделанная фотография полностью меняет жизнь хорватского партизана, рассказы «И грянул гром» Рэя Брэдбери, в котором гибель доисторической бабочки меняет исход президентских выборов в США, или «Крах Баливерны» Дино Буццати, где неудержимое восхождение по отвесной скале получает неожиданную развязку.

Но что такое хаос? В большинстве словарей приводится несколько определений этого понятия. К примеру, в толковых словарях русского языка дается три значения слова «хаос». Первые два отражают изначальный смысл, которым наделялось это слово в Древней Греции, а также его привычное значение.

1. В древнегреческой мифологии и философии — беспорядочная материя, неорганизованная стихия, существовавшая в мировом пространстве до образования известного человеку мира.

2. Полный беспорядок, неразбериха.

Третье определение отражает смысл хаоса в физике и математике.

3. Явление, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то что оно определяется детерминистическими законами.

В этой книге мы, разумеется, поговорим о хаосе в третьем, последнем значении, а также покажем, как математический хаос находит место в массовом сознании благодаря его использованию в физике, биологии, медицине, нейробиологии и других науках. Множество систем в нашем мире, начиная от человеческого мозга и заканчивая климатом Земли, полны хаоса.

В этой и следующей главах мы расскажем историю математической истории хаоса начиная с эпохи Ньютона, периода научной революции, и заканчивая XXI веком.

Знаковым в развитии теории хаоса стал рубеж XIX и XX веков, когда ряд нерешенных задач небесной механики, связанных с устойчивостью Солнечной системы (столкнется ли Луна с Землей? уничтожит ли удар астероида жизнь на Земле?), был рассмотрен талантливым математиком Анри Пуанкаре принципиально иным образом. И в этой, и в следующей главе мы будем использовать интуитивно понятное определение хаоса, близкое к тому, которое применяется в механике, так как именно в механике впервые были описаны системы, которые мы сегодня называем хаотическими. В третьей главе попытаемся применить более формальный подход и постараемся точнее объяснить, в чем именно заключается упомянутый в предисловии эффект бабочки, уже знакомый нам по литературе и кино.

Но начнем с самого начала. Так называемая теория хаоса родилась усилиями нескольких математиков, заинтересованных в том, чтобы связать динамические системы (системы, эволюционирующие со временем) и геометрию, — в их число входили уже упомянутый Анри Пуанкаре и Стивен Смэйл. Немалый вклад в создание теории хаоса внесли физики, изучавшие столь далекие друг от друга области, как метеорология и астрономия, в частности Эдвард Лоренц и Мишель Эно, а также некоторые биологи, занимавшиеся изучением роста популяций, в частности Роберт Мэй. В этот длинный список также следует включить многих ученых, работавших сразу в нескольких областях, в частности Джеймса Йорка, Давида Рюэля, Митчелла Фейгенбаума, Майкла Барнсли и многих других.

Начнем путь к истокам теории хаоса. Нам предстоит преодолеть три реки, которые впадают в море динамических систем: это механика Ньютона, аналитическая механика Лапласа и, наконец, общая теория, задуманная Пуанкаре, который по праву станет главным героем этой главы.

В попытках понять траектории движения планет, которые наблюдал Кеплер в свой телескоп, Ньютон составил математические модели, следуя путем Галилея. Так, Ньютон сформулировал законы, связывавшие физические величины и скорости их изменения, то есть, к примеру, пространство, пройденное телом, и скорость тела или скорость тела и ускорение. Следовательно, физические законы, описывавшие динамические системы, выражались в виде дифференциальных уравнений, в которых дифференциалы служили мерами скорости изменения.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, главной неизвестной которого является скорость изменения величины, то есть ее дифференциал или производная. И дифференциал, и производная функции описывают изменение ее значений, то есть показывают, как ведет себя функция: возрастает, убывает или остается неизменной. В наших примерах ускорение описывает изменение скорости движущегося тела, так как представляет собой отношение дифференциалов скорости и времени.

Иными словами, ускорение — это производная скорости по времени. Следовательно, ускорение характеризует изменение скорости с течением времени.

Простые решения дифференциальных уравнений, как и алгебраических, крайне редки. Аналитическая механика, появившаяся позднее, стала шагом вперед по сравнению с механикой Ньютона, поскольку была ближе к анализу, чем к геометрии.