Тени разума. В поисках науки о сознании - Пенроуз Роджер - Страница 71

Подробнее о том, как это осуществить на практике, мы поговорим в оставшейся части настоящего раздела. Тем из читателей, кого такие подробности не занимают (уверен, таких наберется немало), я рекомендую просто-напросто пропустить весь этот материал.

Нам понадобится несколько модифицировать формальную систему Q' _M ( M), приведя ее к виду Q' _M ( M, c) — для краткости я буду обозначать ее просто как Q( c) (отброшенные обозначения в данной ситуации несущественны и лишь добавляют путаницы и громоздкости). Формальная система Q( c) определяется следующим образом: при построении этой системы допускается принимать в качестве «безошибочных» только те ☆ _M -утверждения, степень сложности которых (задаваемая описанным выше числом ρ) меньше c, где  cесть некоторое должным образом выбранное число, подробнее о котором я расскажу чуть ниже. Для «безошибочных» ☆ _M -утверждений, удовлетворяющих неравенству ρ< c, я буду использовать обозначение «√краткие ☆ _M -утверждения». Как и прежде, множество действительных  теоремформальной системы Q( c) будет включать в себя не только √краткие ☆ _M -утверждения, но также и утверждения, получаемые из √кратких ☆ _M -утверждений посредством стандартных логических операций (позаимствованных, скажем, из исчисления предикатов). Хотя количество теорем системы Q( c) бесконечно, все они выводятся с помощью обыкновенных логических операций из конечногомножества √кратких ☆ _M -утверждений. Далее, поскольку мы ограничиваем рассмотрение конечным множеством, мы вполне можем допустить, что функции T, L и N постоянны(и принимают, скажем, наибольшие значения на конечном интервале ρ). Таким образом, формальная система Q( c) задается лишь четырьмя постоянными c, T, L, Nи общей системой механизмов M, определяющих поведение робота.

Отметим существенный для наших рассуждений момент: гёделевская процедура строго фиксированаи не нуждается в увеличении сложности выше некоторого определенного предела. Гёделевским предположением G( H) для формальной системы  Hявляется Π ₁-высказывание, степень сложности которого должна лишь на сравнительно малую величину превышать степень сложности самой системы H, причем эту величину можно определить точно.

Конкретности ради я позволю себе некоторое нарушение системы обозначений и буду вкладывать в запись « G( H)» некий особый смысл, который может и не совпасть в точности с определением, данным в §2.8. В формальной системе  Hнас интересует лишь ее способность доказывать Π ₁-высказывания. В силу этой своей способности система  Hдает нам алгебраическую процедуру A, с помощью которой мы можем в точности установить (на основании завершения выполнения A) справедливость тех Π ₁-высказываний, формулировка которых допускается правилами системы H. А под Π ₁-высказыванием понимается утверждение вида «действие машины Тьюринга T _p( q) не завершается» — здесь и далее мы будем пользоваться специальным способом маркировки машин Тьюринга, описанным в Приложении А(или в НРК, глава 2). Мы полагаем, что процедура  Aвыполняется над парой чисел ( p, q), как в §2.5. Таким образом, собственно вычисление А( p, q) завершается в том и тольков том случае, если в рамках формальной системы  Hвозможно установить справедливость того самого Π ₁-высказывания, которое утверждает, что «действие T _p( q) незавершается». С помощью описанной в §2.5процедуры мы получили некое конкретное вычисление (обозначенное там как « C _k( k)»), а вместе с ним, при условии обоснованности системы H, и истинное Π ₁-высказывание, которое системе  Hоказывается «не по зубам». Именноэто Π ₁-высказывание я буду теперь обозначать через G( H). Оно существенно эквивалентно (при условии достаточной обширности H) действительному утверждению «система  Hнепротиворечива», хотя в некоторых деталях эти два утверждения могут и не совпадать (см. §2.8).

Пусть  αесть степень сложностипроцедуры  A(по определению, данному в §2.6, в конце комментария к возражению Q8) — иными словами, количество знаков в двоичном представлении числа α, где  A= T _α. Тогда, согласно построению, представленному в явном виде в Приложении А, находим, что степень сложности  ηутверждения G( H) удовлетворяет неравенству η< α+ 210 Iog ₂( α+ 336). Для нужд настоящего рассуждения мы можем определить степень сложности формальной системы  Hкак равную степени сложности процедуры A, т.е. числу α. Приняв такое определение, мы видим, что «излишек» сложности, связанный с переходом от  Hк G( H), оказывается еще меньше, чем и без того относительно крохотная величина 210 Iog ₂( α+ 336).

Далее нам предстоит показать, что если  H= Q( c) при достаточно большом c, то η< c. Отсюда, соответственно, последует, что и Π ₁-высказывание G(Q(c)) должно оказаться в пределах досягаемости системы Q (с) при условии, что роботы принимают G( Q( c)) с ☆-убежденностью. Доказав, что  c>  γ+ 210 log ₂( γ+ 336), мы докажем и то, что γ< c; буквой γмы обозначили значение αпри  H= Q( c). Единственная возможная сложность здесь обусловлена тем обстоятельством, что сама величина γзависит от c, хотя и не обязательно очень сильно. Эта зависимость γот  cимеет две различных причины. Во-первых, число  cявляет собой явный предел степени сложности тех Π ₁-высказываний, которые в определении формальной системы Q( c) называются «безошибочными ☆ _M -утверждениями»; вторая же причина происходит из того факта, что система Q( c) явным образом обусловлена выбором чисел T, Lи N, и можно предположить, что для принятия в качестве «безошибочного» ☆ _M -утверждения большей сложности необходимы какие-то более жесткие критерии.

Относительно первой причины зависимости γот  cотметим, что описание действительной величины числа  cнеобходимо задавать в явном виде только однажды (после чего внутри системы достаточно обозначения c). Если при задании величины с используется чисто двоичное представление, то (при больших c) такое описание дает всего-навсего логарифмическую зависимость γот  c(поскольку количество знаков в двоичном представлении натурального  nравно приблизительно log ₂ n). Вообще говоря, учитывая, что число с интересует нас лишь в качестве возможного предела, точное значение которого находить вовсе не обязательно, мы можем поступить гораздо более остроумным образом. Например, число 2 ^{2 . . . 2}с  sпоказателями можно задать с помощью  sсимволов или около того, и вовсе нетрудно подыскать примеры, в которых величина задаваемого числа возрастает с ростом sеще быстрее. Сгодится любая вычислимая функция от s. Иными словами, для того чтобы задать предел  c(при достаточно большом значении c), необходимо всего лишь несколько символов.