Геометрия, динамика, вселенная - Розенталь Иосиф Леонидович - Страница 9

1 1 точки прямой R| в соответствующую точку окружности S| будем характеризовать углом ALPHA, отсчитываемым от некоторой

1 прямой, перпендикулярной базе R|. В простейшем случае интервал определяется соотношением ds**2 = dx**2 + d ALPHA**2. В более общем случае n-мерного

n 1 евклидова пространства со слоем S| (R| x S|) метрику можно

1 записать в виде матрицы:

! SIGM|| 0!

! ik! g|| =!! (10)

юv!!

! 0 1!

i,k = 1,2….,n; ю, v = 1,2….,n+1=N; SIGM|| = 1 при i=k;

ik

n

— SIGM|| = 0 при i ≠ k; ds**2 = > dx|**2 + d ALPHA**2.

ik — i

i=1

Такую простую форму интервал имеет при специальном выборе системы координат (смешанная система: n координат декартовы, а (n+1) — я описывается в одномерной сферической системе). Разумеется, в общем случае метрика имеет более сложный вид. Однако в одном важном для нас частном случае,

1 когда окружность S| описывается в комплексной плоскости, соотношение (10) сохраняется. Этот вывод следует из двух фактов, лежащих в основе теории комплексных чисел:

iA 1) функция f(ALPHA) = e|| описывает в комплексной плоскости окружность с радиусом, равным единице, и 2) модуль функции

* f(ALPHA) равен единице: f| (ALPHA) * f (ALPHA) = 1.

Приведем пример нетривиального трехмерного расслоения. С этой целью рассмотрим аналог рис. 1. Рассмотрим вначале

1 простое произведение окружности S| на цилиндрическую поверхность, которую можно получить путем простого склеивания прямоугольной полоски бумаги так, чтобы краевые

1 1 точки A и B, A| и B| совпали (рис. 2,а). Однако можно полоску

1 перекрутить так, чтобы точка A совпала бы с точкой B|, а

1 точка B — с точкой A| (рис. 2,б). В результате получается поверхность, называемая листом Мёбиуса. Такая поверхность может быть совокупностью слоев над базой — окружностью. Однако ясно, что при перемещении вдоль окружности-базы слои утрачивают свое равноправие. Так, слой AB остался неизменным: он перпендикулярен плоскости, в которой находится окружность. Другие же слои повернулись на некоторый угол, который зависит от от расстояния от линии AB. В общем случае расслоенное пространство — сравнительно сложная конструкция. Мало задать пространство базы и пространство слоев. Нужно еще и зафиксировать отношения между ними. Идея определения этого отношения заимствована из дифференциальной геометрии, где эта идея — лишь одна из возможностей измерения отклонения пространства от евклидова. Для расслоенных пространств общего вида описанный ниже метод, пожалуй, основной.

Ранее мы упоминали, что искривленное пространство характеризуется различными величинами: отклонением суммы углов треугольника от π (неевклидовость), отличием метрики пространства от евклидовой метрики и, наконец, кривизной пространства. Однако существует сравнительно наглядная характеристика искривленности, называемая связностью. Для обычного (нерасслоенного) пространства связность определяется совокупностью углов между данным малым линейным элементом поверхности и всеми соседними малыми элементами.

Чтобы сделать это наглядное определение математически более строгим, необходимо сформулировать общее правило параллельного переноса векторов.

В евклидовой геометрии параллельный перенос отрезка прямой линии — стандартная операция с достаточно очевидным результатом. Если переносить этот отрезок параллельно самому себе вдоль замкнутого контура, то в результате полного обхода контура конечная прямая совпадет с первичной. Однако такой результат неочевиден (и даже неверен) для кривой поверхности.

Чтобы понять дальнейшие рассуждения, следует сделать некоторое усилие и отрешиться от привычных и наглядных представлений о параллельных в евклидовом пространстве.

Прежде всего определим для кривой поверхности однозначный аналог прямой между двумя точками. Уже упоминалось, что в общем случае этого требования недостаточно для однозначного определения «прямой» между двумя точками. Оно оказывается достаточным, если обе точки расположены близко друг к другу. Тогда кратчайший отрезок, соединяющий обе точки, называется геодезической линией. Если нужно провести геодезическую линию (аналог прямой) для двух произвольных точек, то ее составляют из отрезков геодезических, соединяющих близкие точки.

Процедура параллельного переноса была предложена итальянским ученым Т.Леви-Чивита. возьмем на поверхности две

1 бесконечно-близкие точки M и M| и рассмотрим в точке M вектор поверхности a (лежащий в касательной плоскости к поверхности). Если перенести вектор a параллельно самому

1 себе (в евклидовом смысле) в точку M|, то он не будет лежать

1 в касательной плоскости в точке M| поверхности и не будет вектором поверхности. Спроектируем вектор a на касательную

1 1 плоскость к поверхности в точке M|, тогда получим вектор a|,

1 лежащий в касательной плоскости к поверхности в точке M| и

1 являющийся вектором поверхности. По определению, вектор a|

1 является параллельно перенесенным в точку M| вектором a. Если точки M и N отстоят на бесконечном расстоянии, то их следует соединить кривой, лежащей на поверхности, разбить ее на бесконечно малые участки и к каждому применить процедуру параллельного переноса. Получающийся в результате вектор зависит от вида соединяющей исходную и конечную точки кривой. Если кривая замкнута, то при возвращении в исходную точку параллельно перенесенный вектор не будет совпадать с исходным, а составит с ним некий угол BETA. Этот угол равен нулю, если параллельный перенос производится вдоль геодезической линии. Это связано с тем, что при параллельном переносе угол между переносимым вектором и геодезической линией не меняется.

≡=РИС. 3

На рис. 3 изображена сферическая поверхность, на которой демонстрируется описанная процедура параллельного переноса. В результате параллельного переноса «прямой» вдоль окружности на сфере между первичным и конечным векторами возникает угол BETA ≠ 0.

Можно предложить простую «экспериментальную» иллюстрацию параллельного переноса. Проведем краской на плоскости несколько параллельных прямых. Прокатим далее по этой плоскости конус, постулируя отсутствие трения между конусом и плоскостью, в том смысле, что трение не меняет первоначальное направление движения конуса, но достаточно велико, чтобы нанесенные на плоскость прямые отпечатались бы на конусе. Эти отпечатки и будут параллельными на конусе. Относительное положение двух близких отпечатков отражает параллельный перенос на конусе.

Уже упоминалось, что связность отлична от нуля для кривого пространства. Поэтому связность — одна из нескольких характеристик искривления (отклонения от евклидовости) геометрической фигуры.

До сих пор мы придерживаемся сравнительно привычных представлений. Пространства с обычными понятиями «точка» всегда можно хотя бы упрощенно иллюстрировать в виде двумерной поверхности. Сейчас наступило время перейти к расслоенным пространствам. Такой переход связан с некоторой психологической перестройкой. Хотя простейшие расслоенные пространства также можно мысленно представить в виде геометрических фигур, но всегда, когда оперируют с расслоенными пространствами, следует помнить, что они множество пространств, находящихся в неравноправном положении. Одно из них — база — занимает особое место.

Если среди характеристик простых пространств связность занимает рядовое место (одна из нескольких характеристик), то в теории расслоенных пространств обобщенное понятие связности, пожалуй, основная характеристика. Связность в расслоенных пространствах играет ключевую роль: она характеризует отношения между базой и слоями и между соседними слоями.

В общем случае определение связности имеет довольно сложный вид.' Мы здесь ограничимся простым и наглядным примером определения связности и некоторыми важными для физики приложениями.

------------------------------' См. кн.: Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.; Наука, 1979, Т.1. ------------------------------