Геометрия, динамика, вселенная - Розенталь Иосиф Леонидович - Страница 7

В рамках глобальной неевклидовой геометрии (как мы отмечали ранее) отличие геометрии от евклидовой характеризуется отклонением суммы углов треугольника от π или (что то же самое) отклонением от теоремы Пифагора. Рассмотрим теперь малые участки обеих пространств. Для них квадрат интервала ds**2 между двумя достаточно близкими точками представляется выражениями:

ds**2=dx**2 + dy**2 (плоскость) (1)

ds**2=r**2 sin**2 θ d FI + r**2 d FI**2 (сфера) (2)

r, θ, FI — соответственно радиус, полярный и азимутальные углы. Однако в косоугольных координатах квадрат интервала и плоскости имеет вид

s**2=dx**2 + dy**2 + 2 dx dy cos ALPHA

Хотя численное значение интервала остается неизменным (квадрат длины вектора — инвариант относительно замены системы координат), тем не менее форма (3) имеет более сложный вид, чем соотношение (1). Однако выражения (1) и (3) для квадрата интервала имеют лишь разные формы. Различие форм отражает разницу в выборе системы координат. Изменяя систему отсчета, можно во всей евклидовой плоскости интервал ds**2 свести к простой форме (1).

С выражением (2) интервала на сфере дело обстоит совсем по-другому. Форму (2) никаким преобразованием координат нельзя свести к простому соотношению (1) на всей сфере одновременно. Такую процедуру можно проделать лишь локально, выбирая направление на маленьком участке сферы так, чтобы θ=π/2. Однако при таком выборе система координат фиксируется применительно у этому участку сферы. Поэтому глобально для всей сферы соотношения (2) и (1) различаются, что и отражает неевклидовость сферы. Локально — в малом сферу можно аппроксимировать частью плоскости; глобально — в целом — невозможно.

Представление участка сферы плоскостью довольно тривиальная процедура. Любую малую окрестность достаточно гладкой поверхности можно в первом приближении аппроксимировать плоскостью по аналогии с тем, что отрезок ds непрерывной кривой, описываемой дифференцируемой функцией f(x), представляется в окрестности точки x отрезком прямой длины

ds={[f'(x)]**2+1}**(1/2) dx. (4)

Малый участок достаточно гладкой поверхности обладает следующими свойствами:

1. В малом однозначно определяется прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками.

2. В малом определяется однозначно вектор и скалярное произведение двух векторов.

3. Скалярное произведение двух векторов однозначно определяет свойства пространства. Инвариантность скалярного произведения относительно вращений и трансляций определяет евклидово пространство, что и отражено в аналоге равенства (3):

ds**2=dx| dx|=dx|**2 + dx|**2 + 2 dx| dx| cos ALPHA (5)

1 2 1 2 1 2

Это рассуждение — геометрический аналог аналитического соотношения (4). Выбор интервала ds**2 в виде квадратичного выражения принципиален. Квадрат — наименьшая степень, при которой интервал сохраняет свою величину (инвариантен) относительно весьма широкого класса преобразований. В принципе можно было бы опираться на выражения интервалов через многочлены более высокой четной степени, однако, как оказалось, подобная усложненная геометрия практически современной физике не нужна.

Итак, в дифференциальной геометрии фундаментальную роль играет интервал и его инвариантность относительно широкого класса преобразований. Выражение (3) записывается обычно в следующей форме:

ds**2 = g|| dx| dx|, (6)

ik i k

где наличие общих индексов означает суммирование по всем возможным их значениям. Для двумерной поверхности i,k=1,2; для трехмерной — i,k = 1,2,3 и т. д.

Величины g|| образуют метрический тензор и

ik представляются квадратной таблицей (матрицей). Вследствие симметрии (g||=g||) метрический тензор в общем случае

ik ki характеризуется N(N+1)/2 компонентами.

Для пространства Евклида все компоненты метрического тензора можно привести к простейшему виду во всех точках пространства: g||=0, если i\=k; g||=1, если i=k. Это правило

ik ik верно лишь для пространства Евклида. Выражение (6) является алгебраическим представлением произвольной достаточно гладкой поверхности. Можно дать и наглядное, более геометрическое отображение ее свойств. Это отображение основано на упомянутом выше положении, доказанном еще Гауссом, о том, что в малом отклонение геометрии от евклидовой пропорционально некой величине, называемой кривизной. Несколько огрубленно можно сказать, что кривизна (количественная мера отклонения поверхности от евклидовой) оптимальная аппроксимация малого участка поверхности набором окружностей разных радиусов. Число этих окружностей растет с ростом размерности поверхности. Однако существуют симметричные поверхности — пространства, для которых кривизна характеризуется меньшим числом компонент. Так, для сферы кривизна R — однокомпонентная величина.

R~1/r**2, (7)

где R — радиус сферы.

На примере сферы становится ясным, что с уменьшением кривизны или увеличением размеров поверхность локально приближается к евклидову пространству. Такое приближение реализуется и в более общем случае, когда все компоненты кривизны уменьшаются.

Сфера не является единственной поверхностью с постоянной кривизной. Пример другой такой поверхности пространство Лобачевского, образованное вращением гиперболы. Существует, однако, существенная разница между сферой и пространством Лобачевского. Кривизна сферы положительна, кривизна пространства Лобачевского имеет отрицательный знак. Пространство Евклида — единственное, характеризуемое постоянной, но нулевой кривизной.

И еще одно замечание. Ранее отмечалось, что характеристика неевклидовости двумерных плоскостей отклонение суммы углов треугольника от π. Говоря о проведении треугольника на произвольной поверхности, мы молчаливо подразумевали возможность единственного проведения прямых на поверхности в смысле Евклида (прямая — кратчайшее расстояние). Однако в общем случае между двумя точками поверхности можно провести несколько кратчайших расстояний. Эта неоднозначность устраняется, если выбирается достаточно малый участок поверхности.

Отметим (ввиду важности утверждения) снова, что в малом участке можно определить евклидову систему отсчета. В малом для гладких поверхностей имеет смысл понятие вектора и векторного произведения, инвариантного относительно трансляций и поворотов в пределах малого участка. Но в отличие от евклидова пространства, в котором существует глобальная система координат, обладающая подобными свойствами, в общем случае существование евклидовой системы возможно лишь в малом. По существу это утверждение имеет простой наглядный (геометрический) смысл. Гладкую поверхность можно аппроксимировать бесконечным набором примыкающих малых плоскостей, расположенных друг относительно друга под определенными углами. Характеристики взаиморасположения микроплоскостей кривизны или связности понятия, которые целесообразно рассмотреть в следующем разделе.

Последние рассуждения прямо относились к двумерным поверхностям. Однако в рамках аналитической или дифференциальной геометрии, когда свойства пространств определяются числами (координатами или величинами компонент метрического тензора или кривизны), можно с равным успехом проводить анализ поверхностей любой целочисленной размерности. Методы аналитической и дифференциальной геометрии позволяют представить геометрические фигуры в безликих арифметических терминах, и нет нужды «воображать» сами поверхности.

Возможность оперировать с поверхностями (пространствами) произвольной размерности исключительно важна для понимания свойств и характеристик физического пространства (об этом речь пойдет в следующих главах).

В заключение еще одно замечание. Утверждение, что локально поверхность эквивалентна евклидову пространству, означает, что в любой точке интервал можно привести к виду

N

— ds**2 = > dx|**2 (8)

— i

i=1

Такие поверхности называются римановыми и обладают свойством ds**2 > 0 (положительно определенная матрица).

Теория относительности внесла коррективы в это определение. Эта теория выдвинула идею нового типа пространств — пространств Минковского когда интервал ds**2 может иметь оба знака (ds**2 ≥ 0 или ds**2 ≤ 0), метрика таких пространств называется индефинитной, а сами пространства псевдоевклидовыми.