Геометрия, динамика, вселенная - Розенталь Иосиф Леонидович - Страница 20

Исключительная малость размеров изотопического пространство делает в известном смысле иллюзорной попытку провести грань между словами «реальное» и «воображаемое» пространство. На опыте это пространство ненаблюдаемо, а слова: «изотопическое пространство есть слой над базой видимое пространство» — имеют в значительной степени филологические смысл.

≡=РИС. 5

Подобная квалификация кажется тем более оправданной, поскольку простая геометризация изотопического спина никак не увязывается с взаимодействием частиц. Чтобы реализовать связи в треугольнике геометрия — изотопический спин взаимодействие, нужна руководящая идея. Пока мы ограничимся постулированием такой идеи, а в гл.3 подробно изложим аргументы в ее пользу.

В настоящее время представляется, что основой сформулированного выше «треугольника» является калибровочная инвариантность. В качестве предварительного оправдания подобного постулата можно привести довод: калибровочная симметрия (правда, в различных модификациях) лежит в основе четырех известных взаимодействий.

Можно наглядно (но упрощенно) представить геометрическую интерпретацию изотопического спина (рис. 5). К каждой точке прямой «прикреплена» сфера произвольного (единичного) радиуса, в которой вращается вектор состояния, зависящий от координаты. Разумеется, реально точка базового пространства имеет три, а не одно измерение, однако представить наглядную 4-мерную конструкцию невозможно.

Для понимания дальнейшей процедуры геометризации взаимодействия нужно четко представить следующие положения:

1. Взаимодействие обуславливается свойствами частиц переносчиков взаимодействия, и в частности их изотопическим спином (см. Дополнения).

2. Состояние представляется вектором, вращающимся в слое расслоенного пространства.

3. Взаимодействие определяется характеристиками расслоенного пространства, и в частности связностью.

4. В основе взаимодействия лежит калибровочная инвариантность.

Эти положения носят программный характер. Дальнейшее представляет их конкретную реализацию. Для простоты ограничимся вначале электродинамикой. Как упоминалось ранее, уравнения электродинамики однозначно определяются характеристиками фотона — частицы, переносящей электромагнитное взаимодействие. Масса и изотопический спин фотона равны нулю. Это обстоятельство приводит к фазовой инвариантности функции состояния

i ALPHA(x) PSIG'(x) — > e|||||||||| Ψ(x) и калибровочной инвариантности потенциалов A'(x) — > A(x) + ∂ f (x) / ∂ x. Важно, что в формуле для преобразования функция ALPHA(x) простое (хотя, возможно, и комплексное) число, а не матрица. Это свойство определяется нулевым значением изотопического спина фотона. Если бы изотопический спин частицы-переносчика был отличен от нуля, то коэффициент ALPHA представлялся бы матрицей, что кардинально изменяло бы ситуацию. Этот случай будет рассмотрен далее.

Вернемся теперь к соотношению инвариантности функции Ψ в электродинамике и будем геометрически

i ALPHA(x) интерпретировать фазовый множитель e||||||||||. Рассмотрим, как и ранее, простейший случай статического поля. В этом случае ALPHA(x) = const. Однако (и это обстоятельство играет важнейшую роль) ALPHA может иметь любое действительное значение.

Напомним еще раз, что вследствие теоремы Эйлера функция i ALPHA e||||||| соответствует точке в плоскости комплексного переменного:

i ALPHA e||||||| = cos ALPHA + i sin ALPHA (52)

Таким образом, cos ALPHA есть значение действительной,

i ALPHA а sin ALPHA — мнимой части комплексного числа e|||||||.

i ALPHA Модуль комплексного числа! e|||||||! = 1. С геометрических позиций эта интерпретация эквивалентна

i ALPHA утверждению, что функция e||||||| есть точка в двумерной декартовой плоскости с абсциссой, равной cos ALPHA, и ординатой sin ALPHA. Эта точка лежит на окружности с радиусом, равным единице. Учтем далее, что ALPHA принимает произвольное действительное значение. следовательно, число i ALPHA e||||||| при любом значении ALPHA образует окружность с единичным радиусом. Инвариантность относительно преобразования (49) означает, что вектор состояния Ψ может находиться на такой окружности, которая обозначается

1 символом S| (сфера размерности единица). Поэтому естественно

1 допустить, что окружность (сфера S|) и является слоем над базой — привычным пространством Минковского. Напомним, что в данном случае рассматриваются только электромагнитные силы, поэтому следует отождествлять базовое пространство с пространством Минковского. При совместном действии электромагнитных и гравитационных сил следовало бы базой полагать пространство Римана.

Нетрудно определить и связность расслоенного пространства, соответствующего данному статическому случаю. Как обычно, начало координат отождествим с заряженным телом отсчета. Пусть расстояние до данной точки в пространстве Минковского (Евклида) равно R. Тогда следует слой (плоскость окружности) расположить перпендикулярно вектору R, проходящему через центр окружности. Характеристикой расслоенного пространства, связывающего взаиморасположение соседних слоев и физическую ситуацию, является плотность центров окружностей (слоев) на окружности в базе с радиусом R. Следует положить, что эта плотность равна потенциалу!e!/R, где e — заряд тела отсчета.

Естественно, что, вводя слои-окружности, мы увеличиваем на единицу размерность пространства. Нужно четко представить (вообразить), что слой — это не геометрическое место точек в базе, а автономная геометрическая конструкция над базой.

Наше мышление устроено таким образом, что реально представить это дополнительное, пятое измерение мы не в состоянии. Поэтому некоторое упрощенное представление о дополнительном измерении может дать двумерная плоскость (база), к каждой точке которой «прикреплена» окружность с центром в этой точке. Плотность слоев убывает с увеличением расстояния от начала координат — тела отсчета с зарядом e.

Хотя наши рассуждения относились к простейшему статическому случаю, однако геометрическая интерпретация электромагнитного взаимодействия на основе расслоенного

1 пространства со слоем S| сохраняется и в общем, нестатическом случае с единственным различием: связность такого расслоенного пространства определяется не только скалярной функцией FI, но и 4-векторным потенциалом A|, в

ю котором функция FI является лишь временной компонентой. Трактовка потенциалов как связностей оправдывается и тем, что связности определены неоднозначно. Например, связность, представленная на рис. 3, определена с точностью до трансляционной инвариантности в слое.

Здесь полезно сделать одно отступление. Хотя мы исходили из концепции расслоенного пространства, однако исторически геометрическая интерпретация электромагнетизма, основанная на введении пятого дополнительного измерения, была введена Т.Калуцей в 1921 г. задолго до формирования идей расслоенного пространства.

В ту далекую эпоху вследствие торжества общей теории относительности (количественное согласие предсказаний ОТО с наблюдениями отклонения света в гравитационном поле Солнца) возникла идея объединения известных тогда взаимодействий (гравитационного и электромагнитного) на геометрической базе. С этой целью предпринимались попытки модифицировать физическую геометрию, обобщая 4-мерную геометрию Римана.

В частности, Калуца пытался объединить взаимодействия, введя пятое измерение в рамках многомерной римановской геометрии, т. е. обобщая метрику Римана. В этой теории простейшая метрика объединенного взаимодействия имела вид:

! g|| + A|A| A|!

! юv ю v ю! g|| =!! (53) AB! A| 1!

! v!.

Индексы ю, v пробегают значения 1,2,3,4. Компоненты метрического тензора g|| представляют риманово пространство

юv ОТО. Индексы A,B могут иметь значения от 1 до 5. A|

ю 4-вектор — потенциал электромагнитного поля.

Можно показать, что метрика (53) соответствует