Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис - Страница 62

Но была и более глубокая причина. Сами того не желая, великие математики вызвали своими трудами едва уловимое изменение в самой природе математики. До XVI в. математические понятия были идеализациями или абстракциями, почерпнутыми непосредственно из опыта. Правда, к тому времени отрицательные и иррациональные числа уже были приняты индийцами и арабами. Но хотя мы отнюдь не склонны недооценивать вклада, внесенного арабами и индийцами в развитие математики, в вопросах обоснования они полагались главным образом на интуицию и «внематематический» опыт. Когда же появились комплексные числа, а также алгебра, широко использующая буквенные коэффициенты, производные и интегралы, главенствующее положение в математике заняли понятия, представляющие собой абстракции более высокого ранга. Так, понятие производной, или мгновенной скорости изменения величины, хотя оно и не лишено интуитивной основы (ибо существует физическое понятие скорости), является весьма абстрактным. Качественно оно имеет совсем иную природу, чем, например, понятие треугольника. Аналогичным образом были обречены на провал все попытки математиков — еще не осознавших, что все эти понятия не основаны непосредственно на опыте, а являются абстракциями более высокой степени, — понять, что такое бесконечно большие величины, которых так старательно избегали греки, бесконечно малые величины, которые греки так искусно обходили, а также отрицательные и комплексные числа.

Иначе говоря, математики создавалипонятия, а не черпали абстрактные идеи из реального мира. В поисках источника математических идей математики стали обращаться не к ощущениям, а к человеческому разуму. По мере того как новые идеи оказывались все более полезными в приложениях, их принимали — сначала недовольно, а потом с жадностью. Становясь привычными, новые понятия отнюдь не становились более приемлемыми: привычка лишь рождала у математиков некритичность и создавала ощущение естественности там, где этой естественности на самом деле не было. Начиная с XVIII в. в математику входило все больше далеких от непосредственного опыта, все более абстрактных понятий, которые тем не менее принимались с все меньшими трудностями. Математикам, вознесенным ими же созданной ракетой, не оставалось ничего другого, как рассматривать свою науку с высоты, намного превышающей уровень земной поверхности.

Не почувствовав изменения, происшедшего в характере новых понятий, математики тем самым лишили себя возможности признать необходимость иной основы для аксиоматического построения своей науки, чем самоочевидные истины. Разумеется, новые понятия отличались от старых большей тонкостью, и заложить надлежащий аксиоматический фундамент, как мы теперь знаем, здесь было совсем не так уж просто.

Как же математики могли узнать, в каком направлении следует двигаться, и, если учесть древнюю традицию доказательства, как они могли даже осмеливаться применять полученные результаты и утверждать что-либо о надежности своих выводов? Несомненно, что выбирать направление развития математики помогали как постановка, так и решение физических проблем. Как только физические проблемы облекались в математические формулировки, на передний план выступало виртуозное владение математическим аппаратом, возникали новые методы, рождались новые выводы. Таким образом, физический смысл стал путеводной звездой на разных этапах математического творчества; нередко он становился источником различного рода соображений, позволявших, по крайней мере частично, восполнить недостающие этапы. По существу этот процесс мало чем отличался от доказательства геометрической теоремы, опирающегося на чертеж, но не подкрепляемого ни аксиомами, ни ранее доказанными теоремами.

Помимо физического смысла в развитии новой математики известную роль играли и чутье — здоровая интуиция разумно мыслящего человека. Ведь основная идея и суть метода всегда интуитивно постигаются задолго до того, как они находят рациональное обоснование. Великих математиков, сколь бы рискованными ни были их рассуждения, всегда отличала тонкая интуиция, позволяющая избегать катастрофических ошибок. Интуиция гения более надежна, чем дедуктивное доказательство посредственности.

Постигнув суть физической проблемы в той или иной ее математической постановке, математики XVIII в. не могли устоять перед соблазном формул. По-видимому, формулы обладали в их глазах такой притягательной силой, что процесс вывода одной формулы из другой с помощью какой-нибудь формальной процедуры, например путем дифференцирования, доставлял им глубокое удовлетворение. Восхищение перед символами переполняло их и лишало способности рассуждать. Восемнадцатое столетие окрестили Героическим веком в истории математики, потому что именно тогда математики дерзнули совершить столь небывалые по своим масштабам и значимости научные завоевания, пользуясь столь слабым логическим оружием.

Напрашивается еще один вопрос: почему математики были так уверены в своих результатах, хотя они прекрасно понимали (особенно в XVIII в.), что основные понятия математического анализа сформулированы недостаточно ясно, а доказательства неадекватны? Отчасти такая уверенность объясняется тем, что многие математические результаты были подкреплены опытом и наблюдением. Мы уже рассказывали (гл. II) о замечательных предсказаниях в астрономии, сделанных на основе математических расчетов. Но математики XVII-XVIII вв. верили в правильность своих результатов и еще по одной причине: они были убеждены в том, что мир сотворен богом на основе математических принципов, а они призваны постепенно раскрывать планы творца (гл. II). И хотя их открытия не носили общего характера, математики считали эти открытия составными частями единой основополагающей истины. Вера в то, что они открывают детали божественного замысла и в конечном счете достигнут когда-нибудь «земли обетованной» и вечных истин, поддерживала дух математиков XVII-XVIII вв., вселяла в них бодрость, а плодотворные научные результаты были для них манной небесной, питавшей разум и облегчавшей их тяготы.

Математики обнаружили лишь часть тех сокровищ, поиском которых занимались, и, судя по многим признакам, еще немало интересных открытий ожидало их впереди. Так стоило ли придираться к тому, что математическим законам, так хорошо согласующимся с природой, недостает строгого логического доказательства? Слабое или несуществующее обоснование подменялось религиозным убеждением, подкрепляемым научными фактами. Математикам XVII-XVIII вв. так не терпелось постичь божественную истину, что они продолжали возводить здание, не подведя под него прочного фундамента. Успех заглушал у них муки сомнений. Более того, опьянение от успеха оказалось столь сильным, что на протяжении почти двух веков теория и строгость были забыты. Возникавшие трудности они пытались преодолевать, обращаясь к философским или мистическим доктринам, и трудности, казалось, исчезали. С точки зрения логической обоснованности математика XVII, XVIII и начала XIX вв., несомненно, выглядела весьма примитивной, однако ее методы оказались необычайно плодотворными. Математики конца XIX в. и XX в., стремясь приуменьшить триумф своих предшественников, иногда были не вполне объективны, акцентируя внимание на их ошибках и промахах.

Математику XVII-XVIII вв. можно сравнить с мощной торговой фирмой, которая совершает многочисленные деловые сделки и приносит внушительную прибыль, но из-за неправильной постановки дела стоит на грани банкротства. Разумеется, ни покупатели (ученые, потребляющие «математические товары»), ни кредиторы (общество, которое без колебаний вкладывает средства в развитие математики) не знали об истинном финансовом положении «фирмы».

Итак, ситуация сложилась весьма парадоксальная. Никогда еще логика быстро расширяющей свои границы математики не находилась в столь плачевном состоянии. Но успехи математики в описании и предсказании явлений природы были настолько внушительными, что все мыслители XVIII в. с еще большим убеждением, чем древние греки, выдвигали тезис о существовании основанной на математических принципах системы мира и превозносили математику как великолепный и возвышенный продукт человеческого разума. Перефразируя слова «Гимна» Джозефа Эддисона, обращенные к небесным телам, можно сказать: «Их усладил глас, доступный слуху разума».