Большая Советская Энциклопедия (ЛИ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 71

Линёво, посёлок городского типа в Жирновском районе Волгоградской области РСФСР. Расположен на левом берегу р. Медведица (приток р. Дон), в 14 км к С.-В. от ж.-д. станции Медведица (на линии Балашов — Камышин). Консервный завод.

Лине'йка, применяется для геометрических построений, линейных измерений и вычислений. На Л., как правило, нанесена шкала (или шкалы) с ценой деления, зависящей от назначения Л. На некоторых Л. для удобства пользования имеются различные справочные данные (значения единиц физических величин, таблица умножения и др.), а также специального приспособления, например на Л., применяемой в картографии, — перемещающиеся вдоль неё лупы. Для геометрических построений и измерений служат Л.: прямые, треугольные (см. Угольник), фигурные (например, офицерская, штурманская, трафаретная и др.), а также лекала. Кроме того, в промышленности применяют Л. для измерения линейных размеров в определённых единицах (например, пункты в полиграфии). Л. используются для измерений в различных технологических целях. Например, с помощью усадочной линейки сравнивают нормативный и действительные размеры (в литейном, текстильном и др. производствах), поверочная линейка служит для проверки прямолинейности образующих и плоскостности поверхностей обработанных изделий и т. д. Для измерения больших длин и диаметров пользуются рулеткой. При необходимости переводить размеры из одного масштаба в другой применяют масштабную линейку. Для математических вычислений служит логарифмическая линейка.

  Г. Ю. Филановский.

Лине'йная а'лгебра, наиболее важная в приложениях часть алгебры. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к Л. а., была теория линейных уравнений. Развитие последней привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. В Л. а. входит также теория форм, в частности квадратичных форм, и частично теория инвариантов и тензорное исчисление. Некоторые разделы функционального анализа представляют собой дальнейшее развитие соответствующих вопросов Л. а., связанное с переходом от n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам.

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963.

Лине'йная ве'ктор-фу'нкция, функция f(x) векторного переменного х, обладающая следующими свойствами: 1) f(x + у) = f(x) + f(y), 2) f(l x) = l f(x) (l — число). Л. в.-ф. в n-мерном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом; в n-mepном пространстве она выражается линейной формой, f(x) = a₁x₁ + a₂x₂ +... + a_nx_n от координат x₁, x₂,..., x_n вектора х. Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а:

  f(x) = (а, х),

  в пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором, или аффинором. Векторная Л. в.-ф. у = f(x) в n-мерном пространстве выражается в координатах формулами:

  y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

  y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

  ...

  y_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n.

  Здесь числа a_ij(i, j = 1, 2,..., n) составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. f(x) и g(x) как Л. в.-ф. f(x) + g(x), а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. g{f(x)}, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:

  f(x) = (A₁, х)a₁ + (А₂, х)a₂ +... + (A_n, х)a_n,

  где A₁, A₂, ..., A_n, a₁, a₂, ...a_n — постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.

  Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию тензора. О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ.

Лине'йная зави'симость (матем.), соотношение вида

  C₁₁u₁ + C₂u₂ + ... + C_nu_n = 0, (*)

  где С₁, C₂, ..., C_n — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u₁, u₂, ..., u_n — те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u₁, u₂, ..., u_n входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з. употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з. между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u₁, u₂, ..., u_n имеется Л. з., то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u₁, u₂, ..., u_n линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.

  u₁ = a ₁u₁ + ... + a _i-1u_i-1 + a _i+1u_i+1 + ... + a _nu_n.

  Непрерывные функции от одного переменного

  u₁ = j ₁(х), u₂ = j ₂(х), ..., u_n = j _n(x) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции j ₁(x), j ₂(x), ..., j _n(x), заданные на некотором отрезке а £ х £ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама