Большая Советская Энциклопедия (ГР) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 72

  Умножение и деление осуществляют построением пропорциональных отрезков, которые отсекают на сторонах угла параллельные прямые (MA и BC на рис. 2 ). Так построены отрезки 1, а , б и с , длины которых удовлетворяют соотношению а : 1 = с : b , откуда с = аb или b = с/а ; следовательно, зная два из трёх отрезков a , b и с , всегда можно найти третий, т. е. можно построить произведение или частное двух чисел. При этом построении единичные отрезки на прямых OB и OC могут быть различными.

  Комбинируя действия умножения и сложения, графически вычисляют суммы произведений вида

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

и взвешенное среднее

(a₁x₁ + ... + a_nx_n )/(a₁ + ... + а₂ ).

  Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения.

  Построение значений многочлена

f (x ) = axⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n

основано на представлении его в виде

f (x ) = {[(ax + a₁ )х + а₂ ]х + ...}х + а_n

и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.

  Графическое решение уравнения f (x ) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у = f (x ) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox , которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде j₁ (x ) = j₂ (x ) и вычертить кривые y = j₁ (x ) и y = j₂ (x ). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x ).

  Так, для решения уравнения третьей степени z³ + az² + bz + c = 0 его приводят к виду x³ + px + q = 0 заменой z = х — а /3, затем уравнение представляют в виде x³ = —px — q и вычерчивают кривую у = х³ и прямую у =—px — q . Точки их пересечения определяют корни x₁ , x₂ , x₃ уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола у = х³ остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На рис. 4 решено уравнение x³ — 2,67x — 1 = 0. Его корни x₁ = —1,40, x₂ = — 0,40, x₃ = 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0. Подстановкой z = x — a /4 его приводят к виду x⁴ + px³ + qx + s = 0 и затем переходят к системе уравнений: у = х² , (х – х )² + (у — у )² = r² , вводя переменное y . Здесь x = —q /2, у = (1 – р )/2 и

 Первое уравнение даёт на плоскости параболу, одну и ту же для всех уравнений четвёртой степени, второе — окружность радиуса г , координаты центра x , y которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На рис. 5 решено уравнение x⁴— 2,6x² — 0,8х — 0,6 = 0 (для него x = 0,4; y = 1,8, r = 2). Его корни x₁ = — 1,55, x₂ = 1,80. Как видно из рис. , уравнение др. действительных корней не имеет.

  Графическое интегрирование. Вычисление определенного интеграла

 основано на замене графика подинтегральной функции y = f (x ) ступенчатой ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция aABb , площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу , на ряд полос — элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ox , так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е.  Dx_k — длина основания k- гo прямоугольника, y_k — одно из значений функции у = f (x ) на отрезке Dx_k , равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла  Сумму  вычисляют графически так, как уже было указано. На рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла  где функция y = f (x ) задана графиком AC ...C₄B . После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки A₁ , ..., A₄ , построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек C , ..., C₄ , снесены на ось Оу . Полученные точки P , ..., P₄ соединены с точкой Р (OP = 1). Затем, начиная от точки а , построена ломаная aB₁ ... B₅ , звенья которой параллельны соответствующим отрезкам PP , PP₁ , ..., PP₄ . Величина интеграла численно равна ординате точки B₅ . Для построения графика первообразной функции y = f (x ), т. е.  достаточно соединить плавной кривой вершины ломаной, получаемой при вычислении  (на рис. 7 точки B , B₁ , ..., B₅ ).

  Графическое дифференцирование . График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на рис. 7 . Для этого график функции (рис. 8 ) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Dx. Через точки деления A₁ , A₂ , ... проводят отрезки AB₁ , A₂B₂ , …, параллельные оси Ox . Отрезки B₁A₁ , B₂A₂ , ... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox . По полученным точкам

 строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной.